六丈記2

備忘録のようなもの

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なでしこジャパンのFIFAランキング続き

 前回からの続き、というか訂正。
 前回示した算出方法はFIFAのファクトシートから導き出したのだが、実際の結果に当て嵌めてみると数値が合わなかった。そこで、改めてFIFAのサイトを漁ってみると違うファクトシート(下記FIFA/Coca-Cola Women’s World Ranking)を発見した。読んでみると2004年に評価方法が変更されたとある。主に試合の重要性の評価値と試合内容に関する評価値を変えたようだ。そこで、改めて算出方法を記載する。

 

◆女子FIFAランキング算出方法
■算出式
Ra=Rb+K*(Sa-Se)
Ra:試合後のランキングポイント
Rb:試合前のランキングポイント
K :試合の重要度
Sa:試合内容値
Se:期待値

 

■Sa:試合内容値
 0-1で負けるのと、1-5で負けるのとでは同じ負けるにしても、同じではない。それを数値化したのがこの値。得点と得失点差からどの位勝ったのか、またはどの位負けたのかを割合で決めている。例えば、70%の勝利ならば相手は30%の勝利という具合。
 その割合は下の表から求める。表は勝てなかった方の割合を示しているので、まず、負けた方の割合を表から求めた後、勝った方の割合を算出する。
 例えば、4-5の試合なら負けた方は19%、勝った方は81%(100%-19%)になる。2-4なら負けた方は9.8%、勝った方は90.2%だ。
 ただ、分からないのが引き分けの場合だ。1-1なら50%ずつになるので問題は無いが、0-0なら片方が47%、もう片方が53%になってしまう。引き分けなのに割合が違うのはおかしい。そこで、引き分けの場合は両方とも表の値にしているものと考えることにする。つまり、0-0なら両方とも47%、3-3なら両方とも52%になると考える。
 また、6点以上取って勝てなかった場合の値が表には無いが、それについてはどの様に処理するのか分からない。稀有な例なのでとりあえず考えないことにする。

※縦の欄は負けた方の得点、横の欄は得失点差。

 

■Se:期待値
 この値はランキングポイント差とホームアドバンテージを考慮した値だ。
1)H:ホームアドバンテージ
 ホームチームの方が有利という統計結果があるので、それを補正するためにホームチームのランキングポイントに100ポイントを加算してする。なので、中立地での試合には適応されない。
 例えば、Aチーム(1850pt)とBチーム(1920pt)が中立地で試合をした場合はそのままのポイントで計算するが、Aチームのホームで試合をした場合は1950ptと1920ptとする。

2)P:ランキングポイント差
 1500ptのチームが1600ptのチームに勝つのと2000ptのチームに勝つのとでは勝利の重みが違う。それを考慮したのがこの値だ。Pはランキングポイント差(=x)の関数で表され、式は次の通り。
P=1/[1+10(x/2)]
 xは次の式で与えられる。
x=(r1-r2)/scaling factor
 r1、r2はそれぞれのランキングポイント。scaling factorは最高ポイントが2000以上、初ランキングが1000になるよう決められているらしい。

 Pの式は反比例の関数のように書かれているが、本当は指数関数なのだと思う(前エントリー参照)。10(x/2)は10*(x/2)では無く、10^(x/2)だろう。10の右肩に小さく(x/2)と書かれるべきなのに文章を作成する時に小さく書けないため、同じ大きさで打ち込んだのではないか。
 よって、Pの式を以下のように書き換える。
P=1/[1+10^(x/2)]

 計算例から逆算するとscaling factorは-200になる。だから、xの式は
x=(r1-r2)/(-200)
となっているのだろう。

 xを代入するとPの式は下記のようになる。
P=1/[1+10^((r1-r2)/(-200)/2)]
P=1/[1+10^((r1-r2)/-400]
P=1/{1+10^[(r2-r1)/400)]}
3)期待値
 期待値SeはPの関数にHを加味したものであるから、開催地により次のようになる。
●中立地開催の場合
Se=1/{1+10^[(r2-r1)/400)]}
●r1のチームがホームの場合
Se=1/{1+10^[(r2-r1-100)/400)]}
●r1のチームがアウェーの場合
Se=1/{1+10^[(r2-r1+100)/400)]}

 

■K:試合の重要度
 親善試合とワールドカップの試合では本気度が異なる。より重要な試合ほどチームの実力が反映されるため、それを補正するための係数である。
 基本は15で重要度によって倍率が変わる。試合の種類による倍率は以下の通り。
●親善試合:1倍
●ランキング10位以内同士の親善試合:2倍
●大陸選手権の予選:2倍
●大陸選手権の本大会:3倍
●オリンピックトーナメント予選:3倍
ワールドカップ予選:3倍
●オリンピックトーナメント:4倍
ワールドカップ:4倍

 

◆女子FIFAランキング算出方法の特徴
 K*(Sa-Se)の部分はその試合によって生じるポイントの増減を表していて、例えば、片方のチームが25pt増えれば、もう片方のチームは25pt減る。ただし、引き分けの場合を除く。
 また、この計算方法だと勝ってもポイントが下がったり、逆に負けてもポイントが上がったりする。例えば、400pt下のチームをホームに向かえて試合をした場合、1-0で勝ってもポイントはマイナスになる。5-0で勝ってようやくポイントはプラスになる。(小数第1位を四捨五入で計算)

 

◆実例1
 2009年9月25日の日本のランキングは6位(2011pt)、ニュージーランドは24位(1747pt)。次回のランキング(2009年11月18日)では日本6位(2010pt)、ニュージーランド24位(1748pt)だった。この間、なでしこジャパンはニュージーランドと親善試合を1試合しただけである。
 ランキング算出方法を確かめるには良い例なので、この試合で算出方法が正しいか確かめてみる。
●試合結果
日本 2-1 ニュージーランド
11月14日 国際親善試合 さいたま市駒場スタジアム
●計算
Sa=1-0.16=0.84
日本のポイント2011(r1)、ニュージーランドのポイント1747(r2)
日本のホームなので
r1=2011+100=2111
Se=1/{1+10^[(1747-2111)/400)]}=0.89
親善試合なので
K=15
Ra=2011+15*(0.84-0.89)=2011-0.75=2010.25≒2010
11月のポイントと同じになる。

一方、ニュージーランドは
Sa=0.16
Se=1/{1+10^[(2111-1747)/400)]}=0.11
K=15
Ra=1747+15*(0.16-0.11)=1747+0.75=1747.75≒1748
ニュージーランドがこの試合以外していないのか分からないが、11月のポイントと同じになる。

 

◆実例2
 2010年11月と2011年3月にランキングが発表されている。
 
 この間、なでしこジャパンはアルガルベ杯2011でしか試合をしていないので、アルガルベ杯の成績を用いて、算出方法が正しいか確かめる。
 アルガルベ杯がW杯、五輪に次ぐ大会と言われているが、試合の重要度がどれに該当するのか分からないため、3つの想定をする。
<1>大陸選手権の本大会相当
<2>グループリーグが大陸選手権の予選相当、順位戦が大陸選手権の本大会相当
<3>親善試合

 この間、なでしこジャパンは26pt増やしているが、計算してみると<1>の場合で+35pt、<2>の場合で+28pt、<3>の場合で+19ptになる。
 一番近い<2>の場合でも2ptの開きがある。
 なので、アメリカのポイントも計算してみる。
 
 この間、アメリカは6pt増やしているので、<3>の場合がピッタリと当てはまる。しかし、<3>の場合だと、なでしこジャパンは更に差が開いてしまう。
 そこで、考えたのだが、計算の元となるポイント(r1、r2)は前回公表されたポイントをその間ずっと使うのではなく、試合が終わるごとに変動しているのではないだろうか。
 例えば、第1戦でなでしこジャパンアメリカに負けて-4pt、フィンランドはノルウェーに負けて-3pt。だから、第2戦の日本対フィンランド戦は日本のポイント(r1)は2036ptではなく2032pt、フィンランドのポイント(r2)は1828ptではなく1825ptとして計算しているのではないか。
 
 
 当初、アルガルベ杯2012を終えて、なでしこジャパンのランキングポイントが幾らになるのか試算しようと思っていた。しかし、毎試合ランキングポイントが変動していると予想されるので諦めた。正確なランキングポイントを計算するには全ての対戦相手の国際Aマッチの戦績を調べねばならず、とても無理だ。
 今日、女子FIFAランキングが発表される。1位のアメリカとは42pt差、2位のドイツとも37pt差がある。それに、決勝戦ではドイツに負けているので、ランクアップはないと思うが、少しでも差が縮まっているといいな。

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FACT SheetFIFA/Coca-Cola Women’s World Ranking
http://www.fifa.com/mm/document/fifafacts/r&a-wwr/52/00/99/fs-590_06e_wwr-new.pdf
FIFA/Coca-Cola Women’s World Ranking
http://www.fifa.com/worldranking/rankingtable/women/index.html
JFAなでしこジャパン
http://www.jfa.or.jp/national_team/2012/nadeshiko/20120307/index.html
US WNT official
http://www.ussoccer.com/Teams/US-Women.aspx
 

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